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| 本文作者： AI研習(xí)社 | 2017-06-19 14:22 |
雷鋒網(wǎng)按：本文作者楊熹，原文載于作者個人博客，雷鋒網(wǎng)已獲授權(quán)。
在很多機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)的應(yīng)用中，我們發(fā)現(xiàn)用的最多的優(yōu)化器是 Adam，為什么呢？
下面是 TensorFlow 中的優(yōu)化器：
詳情參見：https://www.tensorflow.org/api_guides/python/train
在 keras 中也有 SGD，RMSprop，Adagrad，Adadelta，Adam 等，詳情：
我們可以發(fā)現(xiàn)除了常見的梯度下降，還有 Adadelta，Adagrad，RMSProp 等幾種優(yōu)化器，都是什么呢，又該怎么選擇呢？
在 Sebastian Ruder 的這篇論文中給出了常用優(yōu)化器的比較，今天來學(xué)習(xí)一下：
原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/1609.04747.pdf
本文將梳理：
● 每個算法的梯度更新規(guī)則和缺點(diǎn)
● 為了應(yīng)對這個不足而提出的下一個算法
● 超參數(shù)的一般設(shè)定值
● 幾種算法的效果比較
● 選擇哪種算法
首先來看一下梯度下降最常見的三種變形 BGD，SGD，MBGD，
這三種形式的區(qū)別就是取決于我們用多少數(shù)據(jù)來計算目標(biāo)函數(shù)的梯度，
這樣的話自然就涉及到一個 trade－off，即參數(shù)更新的準(zhǔn)確率和運(yùn)行時間。
梯度更新規(guī)則:
BGD 采用整個訓(xùn)練集的數(shù)據(jù)來計算 cost function 對參數(shù)的梯度：
缺點(diǎn):
由于這種方法是在一次更新中，就對整個數(shù)據(jù)集計算梯度，所以計算起來非常慢，遇到很大量的數(shù)據(jù)集也會非常棘手，而且不能投入新數(shù)據(jù)實(shí)時更新模型
for i in range(nb_epochs):
params_grad = evaluate_gradient(loss_function, data, params)
params = params - learning_rate * params_grad
我們會事先定義一個迭代次數(shù) epoch，首先計算梯度向量 params_grad，然后沿著梯度的方向更新參數(shù) params，learning rate 決定了我們每一步邁多大。
Batch gradient descent 對于凸函數(shù)可以收斂到全局極小值，對于非凸函數(shù)可以收斂到局部極小值。
梯度更新規(guī)則:
和 BGD 的一次用所有數(shù)據(jù)計算梯度相比，SGD 每次更新時對每個樣本進(jìn)行梯度更新，
對于很大的數(shù)據(jù)集來說，可能會有相似的樣本，這樣 BGD 在計算梯度時會出現(xiàn)冗余，
而 SGD 一次只進(jìn)行一次更新，就沒有冗余，而且比較快，并且可以新增樣本。
for i in range(nb_epochs):
np.random.shuffle(data)
for example in data:
params_grad = evaluate_gradient(loss_function, example, params)
params = params - learning_rate * params_grad
看代碼，可以看到區(qū)別，就是整體數(shù)據(jù)集是個循環(huán)，其中對每個樣本進(jìn)行一次參數(shù)更新。
缺點(diǎn):
但是 SGD 因?yàn)楦卤容^頻繁，會造成 cost function 有嚴(yán)重的震蕩。
BGD 可以收斂到局部極小值，當(dāng)然 SGD 的震蕩可能會跳到更好的局部極小值處。
當(dāng)我們稍微減小 learning rate，SGD 和 BGD 的收斂性是一樣的。
梯度更新規(guī)則:
MBGD 每一次利用一小批樣本，即 n 個樣本進(jìn)行計算，
這樣它可以降低參數(shù)更新時的方差，收斂更穩(wěn)定，
另一方面可以充分地利用深度學(xué)習(xí)庫中高度優(yōu)化的矩陣操作來進(jìn)行更有效的梯度計算。
和 SGD 的區(qū)別是每一次循環(huán)不是作用于每個樣本，而是具有 n 個樣本的批次
for i in range(nb_epochs):
np.random.shuffle(data)
for batch in get_batches(data, batch_size=50):
params_grad = evaluate_gradient(loss_function, batch, params)
params = params - learning_rate * params_grad
超參數(shù)設(shè)定值:
n 一般取值在 50～256
缺點(diǎn):
不過 Mini-batch gradient descent 不能保證很好的收斂性：
1. learning rate 如果選擇的太小，收斂速度會很慢，如果太大，loss function 就會在極小值處不停地震蕩甚至偏離。
（有一種措施是先設(shè)定大一點(diǎn)的學(xué)習(xí)率，當(dāng)兩次迭代之間的變化低于某個閾值后，就減小 learning rate，不過這個閾值的設(shè)定需要提前寫好，這樣的話就不能夠適應(yīng)數(shù)據(jù)集的特點(diǎn)）
2. 此外，這種方法是對所有參數(shù)更新時應(yīng)用同樣的 learning rate，如果我們的數(shù)據(jù)是稀疏的，我們更希望對出現(xiàn)頻率低的特征進(jìn)行大一點(diǎn)的更新。
3. 另外，對于非凸函數(shù)，還要避免陷于局部極小值處，或者鞍點(diǎn)處，因?yàn)榘包c(diǎn)周圍的error 是一樣的，所有維度的梯度都接近于0，SGD 很容易被困在這里。
鞍點(diǎn)就是：一個光滑函數(shù)的鞍點(diǎn)鄰域的曲線，曲面，或超曲面，都位于這點(diǎn)的切線的不同邊。
例如下圖這個二維圖形，像個馬鞍：在x-軸方向往上曲，在y-軸方向往下曲，鞍點(diǎn)就是（0，0）
為了應(yīng)對上述這三點(diǎn)挑戰(zhàn)，于是就有了下面這些算法。
［應(yīng)對挑戰(zhàn) 1］
SGD 在 ravines 的情況下容易被困住， ravines 就是曲面的一個方向比另一個方向更陡，這時 SGD 會發(fā)生震蕩而遲遲不能接近極小值：
梯度更新規(guī)則:
Momentum 通過加入 γv_t?1 ，可以加速 SGD， 并且抑制震蕩
當(dāng)我們將一個小球從山上滾下來時，沒有阻力的話，它的動量會越來越大，但是如果遇到了阻力，速度就會變小。
加入的這一項(xiàng)，可以使得梯度方向不變的維度上速度變快，梯度方向有所改變的維度上的更新速度變慢，這樣就可以加快收斂并減小震蕩。
超參數(shù)設(shè)定值:
一般 γ 取值 0.9 左右。
缺點(diǎn):
這種情況相當(dāng)于小球從山上滾下來時是在盲目地沿著坡滾，如果它能具備一些先知，例如快要上坡時，就知道需要減速了的話，適應(yīng)性會更好。
梯度更新規(guī)則:
用 θ?γv_t?1 來近似當(dāng)做參數(shù)下一步會變成的值，則在計算梯度時，不是在當(dāng)前位置，而是未來的位置上
超參數(shù)設(shè)定值:
γ 仍然取值 0.9 左右。
效果比較:
藍(lán)色是 Momentum 的過程，會先計算當(dāng)前的梯度，然后在更新后的累積梯度后會有一個大的跳躍。
而 NAG 會先在前一步的累積梯度上(brown vector)有一個大的跳躍，然后衡量一下梯度做一下修正(red vector)，這種預(yù)期的更新可以避免我們走的太快。
NAG 可以使 RNN 在很多任務(wù)上有更好的表現(xiàn)。
目前為止，我們可以做到，在更新梯度時順應(yīng) loss function 的梯度來調(diào)整速度，并且對 SGD 進(jìn)行加速。
我們還希望可以根據(jù)參數(shù)的重要性而對不同的參數(shù)進(jìn)行不同程度的更新。
［應(yīng)對挑戰(zhàn) 2］
這個算法就可以對低頻的參數(shù)做較大的更新，對高頻的做較小的更新，也因此，對于稀疏的數(shù)據(jù)它的表現(xiàn)很好，很好地提高了 SGD 的魯棒性，例如識別 Youtube 視頻里面的貓，訓(xùn)練 GloVe word embeddings，因?yàn)樗鼈兌际切枰诘皖l的特征上有更大的更新。
梯度更新規(guī)則:
其中 g 為：t 時刻參數(shù) θ_i 的梯度
如果是普通的 SGD， 那么 θ_i 在每一時刻的梯度更新公式為：
但這里的 learning rate η 也隨 t 和 i 而變：
其中 G_t 是個對角矩陣， (i,i) 元素就是 t 時刻參數(shù) θ_i 的梯度平方和。
Adagrad 的優(yōu)點(diǎn)是減少了學(xué)習(xí)率的手動調(diào)節(jié)
超參數(shù)設(shè)定值:
一般 η 就取 0.01。
缺點(diǎn):
它的缺點(diǎn)是分母會不斷積累，這樣學(xué)習(xí)率就會收縮并最終會變得非常小。
這個算法是對 Adagrad 的改進(jìn)，和 Adagrad 相比，就是分母的 G 換成了過去的梯度平方的衰減平均值：
這個分母相當(dāng)于梯度的均方根 root mean squared (RMS) ，所以可以用 RMS 簡寫：
其中 E 的計算公式如下，t 時刻的依賴于前一時刻的平均和當(dāng)前的梯度：
梯度更新規(guī)則:
此外，還將學(xué)習(xí)率 η 換成了 RMS[Δθ]，這樣的話，我們甚至都不需要提前設(shè)定學(xué)習(xí)率了：
超參數(shù)設(shè)定值:
γ 一般設(shè)定為 0.9。
RMSprop 是 Geoff Hinton 提出的一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)率方法。
RMSprop 和 Adadelta 都是為了解決 Adagrad 學(xué)習(xí)率急劇下降問題的，
梯度更新規(guī)則:
RMSprop 與 Adadelta 的第一種形式相同：
超參數(shù)設(shè)定值:
Hinton 建議設(shè)定 γ 為 0.9, 學(xué)習(xí)率 η 為 0.001。
這個算法是另一種計算每個參數(shù)的自適應(yīng)學(xué)習(xí)率的方法。
除了像 Adadelta 和 RMSprop 一樣存儲了過去梯度的平方 vt 的指數(shù)衰減平均值 ，也像 momentum 一樣保持了過去梯度 mt 的指數(shù)衰減平均值：
如果 mt 和 vt 被初始化為 0 向量，那它們就會向 0 偏置，所以做了偏差校正，
通過計算偏差校正后的 mt 和 vt 來抵消這些偏差：
梯度更新規(guī)則:
超參數(shù)設(shè)定值:
建議 β1 ＝ 0.9，β2 ＝ 0.999，? ＝ 10e?8
實(shí)踐表明，Adam 比其他適應(yīng)性學(xué)習(xí)方法效果要好。
下面看一下幾種算法在鞍點(diǎn)和等高線上的表現(xiàn)：
上面兩種情況都可以看出，Adagrad, Adadelta, RMSprop 幾乎很快就找到了正確的方向并前進(jìn)，收斂速度也相當(dāng)快，而其它方法要么很慢，要么走了很多彎路才找到。
由圖可知自適應(yīng)學(xué)習(xí)率方法即 Adagrad, Adadelta, RMSprop, Adam 在這種情景下會更合適而且收斂性更好。
如果數(shù)據(jù)是稀疏的，就用自適用方法，即 Adagrad, Adadelta, RMSprop, Adam。
RMSprop, Adadelta, Adam 在很多情況下的效果是相似的。
Adam 就是在 RMSprop 的基礎(chǔ)上加了 bias-correction 和 momentum，
隨著梯度變的稀疏，Adam 比 RMSprop 效果會好。
整體來講，Adam 是最好的選擇。
很多論文里都會用 SGD，沒有 momentum 等。SGD 雖然能達(dá)到極小值，但是比其它算法用的時間長，而且可能會被困在鞍點(diǎn)。
如果需要更快的收斂，或者是訓(xùn)練更深更復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，需要用一種自適應(yīng)的算法。
http://sebastianruder.com/optimizing-gradient-descent/index.html#fn:24
http://www.redcedartech.com/pdfs/Select_Optimization_Method.pdf
https://stats.stackexchange.com/questions/55247/how-to-choose-the-right-optimization-algorithm
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