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雷鋒網(wǎng)按：本文作者韓昊，原載于知乎專欄，雷鋒網(wǎng)已獲授權(quán)。
我保證這篇文章和你以前看過的所有文章都不同，這是12年還在果殼的時候?qū)懙?，但是當時沒有來得及寫完就出國了……于是拖了兩年，嗯，我是拖延癥患者……
這篇文章的核心思想就是：
傅里葉分析不僅僅是一個數(shù)學工具，更是一種可以徹底顛覆一個人以前世界觀的思維模式。但不幸的是，傅里葉分析的公式看起來太復(fù)雜了，所以很多大一新生上來就懵圈并從此對它深惡痛絕。老實說，這么有意思的東西居然成了大學里的殺手課程，不得不歸咎于編教材的人實在是太嚴肅了。（您把教材寫得好玩一點會死嗎？會死嗎？）所以我一直想寫一個有意思的文章來解釋傅里葉分析，有可能的話高中生都能看懂的那種。所以，不管讀到這里的您從事何種工作，我保證您都能看懂，并且一定將體會到通過傅里葉分析看到世界另一個樣子時的快感。至于對于已經(jīng)有一定基礎(chǔ)的朋友，也希望不要看到會的地方就急忙往后翻，仔細讀一定會有新的發(fā)現(xiàn)。
————以上是定場詩————
下面進入正題：
抱歉，還是要啰嗦一句：其實學習本來就不是易事，我寫這篇文章的初衷也是希望大家學習起來更加輕松，充滿樂趣。但是千萬！千萬不要把這篇文章收藏起來，或是存下地址，心里想著：以后有時間再看。這樣的例子太多了，也許幾年后你都沒有再打開這個頁面。無論如何，耐下心，讀下去。這篇文章要比讀課本要輕松、開心得多……
從我們出生，我們看到的世界都以時間貫穿，股票的走勢、人的身高、汽車的軌跡都會隨著時間發(fā)生改變。這種以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法我們稱其為時域分析。而我們也想當然的認為，世間萬物都在隨著時間不停的改變，并且永遠不會靜止下來。但如果我告訴你，用另一種方法來觀察世界的話，你會發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的，你會不會覺得我瘋了？我沒有瘋，這個靜止的世界就叫做頻域。
先舉一個公式上并非很恰當，但意義上再貼切不過的例子：
在你的理解中，一段音樂是什么呢？
這是我們對音樂最普遍的理解，一個隨著時間變化的震動。但我相信對于樂器小能手們來說，音樂更直觀的理解是這樣的：
好的！下課，同學們再見。
是的，其實這一段寫到這里已經(jīng)可以結(jié)束了。上圖是音樂在時域的樣子，而下圖則是音樂在頻域的樣子。所以頻域這一概念對大家都從不陌生，只是從來沒意識到而已。
現(xiàn)在我們可以回過頭來重新看看一開始那句癡人說夢般的話：世界是永恒的。
將以上兩圖簡化：
時域：
頻域：
在時域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個永恒的音符。
所（前方高能！~~~~~~~~~~~非戰(zhàn)斗人員退散~~~~~~~）
以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能預(yù)警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~）
（眾人：雞湯滾出知乎?。?/p>
抱歉，這不是一句雞湯文，而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學告訴我們，任何周期函數(shù)，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的疊加。在第一個例子里我們可以理解為，利用對不同琴鍵不同力度，不同時間點的敲擊，可以組合出任何一首樂曲。
而貫穿時域與頻域的方法之一，就是傳中說的傅里葉分析。傅里葉分析可分為傅里葉級數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation)，我們從簡單的開始談起。
還是舉個栗子并且有圖有真相才好理解。
如果我說我能用前面說的正弦曲線波疊加出一個帶90度角的矩形波來，你會相信嗎？你不會，就像當年的我一樣。但是看看下圖：
第一幅圖是一個郁悶的正弦波cos（x）
第二幅圖是2個賣萌的正弦波的疊加cos(x)+a.cos(3x)
第三幅圖是4個發(fā)春的正弦波的疊加
第四幅圖是10個便秘的正弦波的疊加
隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標準的矩形，大家從中體會到了什么道理？
（只要努力，彎的都能掰直?。?/p>
隨著疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續(xù)上升的部分使其變?yōu)樗骄€。一個矩形就這么疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標準90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。（上帝：我能讓你們猜著我？）
不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起來的。這是沒有接觸過傅里葉分析的人在直覺上的第一個難點，但是一旦接受了這樣的設(shè)定，游戲就開始有意思起來了。
還是上圖的正弦波累加成矩形波，我們換一個角度來看看：
在這幾幅圖中，最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和，也就是越來越接近矩形波的那個圖形。而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是組合為矩形波的各個分量。這些正弦波按照頻率從低到高從前向后排列開來，而每一個波的振幅都是不同的。一定有細心的讀者發(fā)現(xiàn)了，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那并不是分割線，而是振幅為0的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。
這里，不同頻率的正弦波我們成為頻率分量。
好了，關(guān)鍵的地方來了??！
如果我們把第一個頻率最低的頻率分量看作“1”，我們就有了構(gòu)建頻域的最基本單元。
對于我們最常見的有理數(shù)軸，數(shù)字“1”就是有理數(shù)軸的基本單元。
（好吧，數(shù)學稱法為 —— 基。在那個年代，這個字還沒有其他奇怪的解釋，后面還有正交基這樣的詞匯我會說嗎?）
時域的基本單元就是“1秒”，如果我們將一個角頻率為ω的正弦波cos（ωt）看作基礎(chǔ)，那么頻域的基本單元就是ω。
有了“1”，還要有“0”才能構(gòu)成世界，那么頻域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一個周期無限長的正弦波，也就是一條直線！所以在頻域，0頻率也被稱為直流分量，在傅里葉級數(shù)的疊加中，它僅僅影響全部波形相對于數(shù)軸整體向上或是向下而不改變波的形狀。
接下來，讓我們回到初中，回憶一下已經(jīng)死去的八戒，啊不，已經(jīng)死去的老師是怎么定義正弦波的吧。
正弦波就是一個圓周運動在一條直線上的投影。所以頻域的基本單元也可以理解為一個始終在旋轉(zhuǎn)的圓
動圖的源文件請戳
File:Fourier series square wave circles animation.gif
以及這里：
File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif
點出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki寫的哪有這里的文章這么沒節(jié)操是不是。
介紹完了頻域的基本組成單元，我們就可以看一看一個矩形波，在頻域里的另一個模樣了：
這是什么奇怪的東西？
這就是矩形波在頻域的樣子，是不是完全認不出來了？教科書一般就給到這里然后留給了讀者無窮的遐想，以及無窮的吐槽，其實教科書只要補一張圖就足夠了：頻域圖像，也就是俗稱的頻譜，就是——
再清楚一點：
可以發(fā)現(xiàn)，在頻譜中，偶數(shù)項的振幅都是0，也就對應(yīng)了圖中的彩色直線。振幅為0的正弦波。
動圖源文件請戳：
File:Fourier series and transform.gif
老實說，在我學傅里葉變換時，維基的這個圖還沒有出現(xiàn)，那時我就想到了這種表達方法，而且，后面還會加入維基沒有表示出來的另一個譜——相位譜。
但是在講相位譜之前，我們先回顧一下剛剛的這個例子究竟意味著什么。記得前面說過的那句“世界是靜止的”嗎？估計好多人對這句話都已經(jīng)吐槽半天了。想象一下，世界上每一個看似混亂的表象，實際都是一條時間軸上不規(guī)則的曲線，但實際這些曲線都是由這些無窮無盡的正弦波組成。我們看似不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時域上的投影，而正弦波又是一個旋轉(zhuǎn)的圓在直線上的投影。那么你的腦海中會產(chǎn)生一個什么畫面呢？
我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布，幕布的后面有無數(shù)的齒輪，大齒輪帶動小齒輪，小齒輪再帶動更小的。在最外面的小齒輪上有一個小人——那就是我們自己。我們只看到這個小人毫無規(guī)律的在幕布前表演，卻無法預(yù)測他下一步會去哪。而幕布后面的齒輪卻永遠一直那樣不停的旋轉(zhuǎn)，永不停歇。這樣說來有些宿命論的感覺。說實話，這種對人生的描繪是我一個朋友在我們都是高中生的時候感嘆的，當時想想似懂非懂，直到有一天我學到了傅里葉級數(shù)……
抱歉，還是沒寫完。但是我想堅持看到這里的人已經(jīng)很不容易了。我們都休息一下，下一講再繼續(xù)……
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