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雷鋒網(wǎng)按：本文作者韓昊，原載于知乎專欄，雷鋒網(wǎng)已獲授權(quán)。文章上半部分詳見：鏈接。
上一篇文章發(fā)出來之后，為了掐死我，大家真是很下工夫啊，有拿給姐姐看的，有拿給妹妹看的，還有拿給女朋友看的，就是為了聽到一句“完全看不懂啊”。幸虧我留了個(gè)心眼，不然就真的像標(biāo)題配圖那樣了。我的文章題目是，如果看了這篇文章你“還”不懂就過來掐死我，潛臺(tái)詞就是在你學(xué)了，但是沒學(xué)明白的情況下看了還是不懂，才過來掐死我。
另外，想跟很多人抱歉，因?yàn)樵u(píng)論太多了，時(shí)間有限，不能給每個(gè)人回復(fù)，還望大家諒解。但是很感謝一直在評(píng)論區(qū)幫忙解答讀者問題的各位，就不一一@了。
這里鄭重感謝大連海事大學(xué)的吳楠老師，一位學(xué)識(shí)淵博、備課縝密、但授課不拘一格的年輕教師！當(dāng)時(shí)大三他教我通信原理，但是他先用了4結(jié)課幫我們復(fù)習(xí)了很多信號(hào)與系統(tǒng)的基本概念，那個(gè)用樂譜代表頻域的概念就是他講的，一下子讓我對(duì)這門課豁然開朗，才有了今天的這篇文章。
————————————今天的定場詩有點(diǎn)長——————————
下面繼續(xù)開始我們無節(jié)操的旅程：
三、傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Series）的相位譜
上次的關(guān)鍵詞是：從側(cè)面看。這次的關(guān)鍵詞是：從下面看。
在第二課最開始，我想先回答很多人的一個(gè)問題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對(duì)比較枯燥，已經(jīng)知道了的同學(xué)可以直接跳到下一個(gè)分割線。
先說一個(gè)最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們一定對(duì)一個(gè)詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個(gè)通道來進(jìn)行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：
先在紙上畫一個(gè)sin（x），不一定標(biāo)準(zhǔn)，意思差不多就行。不是很難吧。
好，接下去畫一個(gè)sin（3x）+sin（5x）的圖形。
別說標(biāo)準(zhǔn)不標(biāo)準(zhǔn)了，曲線什么時(shí)候上升什么時(shí)候下降你都不一定畫的對(duì)吧？
好，畫不出來不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個(gè)曲線的方程式，現(xiàn)在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。
但是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。
所以很多在時(shí)域看似不可能做到的數(shù)學(xué)操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號(hào)處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。
再說一個(gè)更重要，但是稍微復(fù)雜一點(diǎn)的用途——求解微分方程。（這段有點(diǎn)難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業(yè)都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當(dāng)麻煩的事情。因?yàn)槌艘?jì)算加減乘除，還要計(jì)算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變?yōu)槌朔ê统?，大學(xué)數(shù)學(xué)瞬間變小學(xué)算術(shù)有沒有。
傅里葉分析當(dāng)然還有其他更重要的用途，我們隨著講隨著提。
下面我們繼續(xù)說相位譜：
通過時(shí)域到頻域的變換，我們得到了一個(gè)從側(cè)面看的頻譜，但是這個(gè)頻譜并沒有包含時(shí)域中全部的信息。因?yàn)轭l譜只代表每一個(gè)對(duì)應(yīng)的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位?；A(chǔ)的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對(duì)于頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個(gè)相位譜。那么這個(gè)相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個(gè)波疊加的圖。
鑒于正弦波是周期的，我們需要設(shè)定一個(gè)用來標(biāo)記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點(diǎn)。小紅點(diǎn)是距離頻率軸最近的波峰，而這個(gè)波峰所處的位置離頻率軸有多遠(yuǎn)呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點(diǎn)投影到下平面，投影點(diǎn)我們用粉色點(diǎn)來表示。當(dāng)然，這些粉色的點(diǎn)只標(biāo)注了波峰距離頻率軸的距離，并不是相位。
這里需要糾正一個(gè)概念：時(shí)間差并不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話，相位差則是時(shí)間差在一個(gè)周期中所占的比例。我們將時(shí)間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。
在完整的立體圖中，我們將投影得到的時(shí)間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側(cè)面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發(fā)現(xiàn)的話，可以告訴她：“對(duì)不起，我只是想看看你的相位譜。”
注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因?yàn)閏os（t+Pi）=-cos（t），所以實(shí)際上相位為Pi的波只是上下翻轉(zhuǎn)了而已。對(duì)于周期方波的傅里葉級(jí)數(shù)，這樣的相位譜已經(jīng)是很簡單的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域?yàn)?-pi，pi]，所以圖中的相位差均為Pi。
最后來一張大集合：
相信通過前面三章，大家對(duì)頻域以及傅里葉級(jí)數(shù)都有了一個(gè)全新的認(rèn)識(shí)。但是文章在一開始關(guān)于鋼琴琴譜的例子我曾說過，這個(gè)栗子是一個(gè)公式錯(cuò)誤，但是概念典型的例子。所謂的公式錯(cuò)誤在哪里呢？
傅里葉級(jí)數(shù)的本質(zhì)是將一個(gè)周期的信號(hào)分解成無限多分開的（離散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾經(jīng)在學(xué)數(shù)字信號(hào)處理的時(shí)候?qū)戇^一首打油詩：
往昔連續(xù)非周期，
回憶周期不連續(xù)，
任你ZT、DFT，
還原不回去。
（請(qǐng)無視我渣一樣的文學(xué)水平……）
在這個(gè)世界上，有的事情一期一會(huì)，永不再來，并且時(shí)間始終不曾停息地將那些刻骨銘心的往昔連續(xù)的標(biāo)記在時(shí)間點(diǎn)上。但是這些事情往往又成為了我們格外寶貴的回憶，在我們大腦里隔一段時(shí)間就會(huì)周期性的蹦出來一下，可惜這些回憶都是零散的片段，往往只有最幸福的回憶，而平淡的回憶則逐漸被我們忘卻。因?yàn)?，往昔是一個(gè)連續(xù)的非周期信號(hào)，而回憶是一個(gè)周期離散信號(hào)。
是否有一種數(shù)學(xué)工具將連續(xù)非周期信號(hào)變換為周期離散信號(hào)呢？抱歉，真沒有。
比如傅里葉級(jí)數(shù)，在時(shí)域是一個(gè)周期且連續(xù)的函數(shù)，而在頻域是一個(gè)非周期離散的函數(shù)。這句話比較繞嘴，實(shí)在看著費(fèi)事可以干脆回憶第一章的圖片。
而在我們接下去要講的傅里葉變換，則是將一個(gè)時(shí)域非周期的連續(xù)信號(hào)，轉(zhuǎn)換為一個(gè)在頻域非周期的連續(xù)信號(hào)。
算了，還是上一張圖方便大家理解吧：
或者我們也可以換一個(gè)角度理解：傅里葉變換實(shí)際上是對(duì)一個(gè)周期無限大的函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換。
所以說，鋼琴譜其實(shí)并非一個(gè)連續(xù)的頻譜，而是很多在時(shí)間上離散的頻率，但是這樣的一個(gè)貼切的比喻真的是很難找出第二個(gè)來了。
因此在傅里葉變換在頻域上就從離散譜變成了連續(xù)譜。那么連續(xù)譜是什么樣子呢？
為了方便大家對(duì)比，我們這次從另一個(gè)角度來看頻譜，還是傅里葉級(jí)數(shù)中用到最多的那幅圖，我們從頻率較高的方向看。
以上是離散譜，那么連續(xù)譜是什么樣子呢？
盡情的發(fā)揮你的想象，想象這些離散的正弦波離得越來越近，逐漸變得連續(xù)……
直到變得像波濤起伏的大海：
很抱歉，為了能讓這些波浪更清晰的看到，我沒有選用正確的計(jì)算參數(shù)，而是選擇了一些讓圖片更美觀的參數(shù)，不然這圖看起來就像屎一樣了。
不過通過這樣兩幅圖去比較，大家應(yīng)該可以理解如何從離散譜變成了連續(xù)譜的了吧？原來離散譜的疊加，變成了連續(xù)譜的累積。所以在計(jì)算上也從求和符號(hào)變成了積分符號(hào)。
不過，這個(gè)故事還沒有講完，接下去，我保證讓你看到一幅比上圖更美麗壯觀的圖片，但是這里需要介紹到一個(gè)數(shù)學(xué)工具才能然故事繼續(xù)，這個(gè)工具就是——
虛數(shù)i這個(gè)概念大家在高中就接觸過，但那時(shí)我們只知道它是-1的平方根，可是它真正的意義是什么呢?
這里有一條數(shù)軸，在數(shù)軸上有一個(gè)紅色的線段，它的長度是1。當(dāng)它乘以3的時(shí)候，它的長度發(fā)生了變化，變成了藍(lán)色的線段，而當(dāng)它乘以-1的時(shí)候，就變成了綠色的線段，或者說線段在數(shù)軸上圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了180度。
我們知道乘-1其實(shí)就是乘了兩次 i使線段旋轉(zhuǎn)了180度，那么乘一次 i 呢——答案很簡單——旋轉(zhuǎn)了90度。
同時(shí)，我們獲得了一個(gè)垂直的虛數(shù)軸。實(shí)數(shù)軸與虛數(shù)軸共同構(gòu)成了一個(gè)復(fù)數(shù)的平面，也稱復(fù)平面。這樣我們就了解到，乘虛數(shù)i的一個(gè)功能——旋轉(zhuǎn)。
現(xiàn)在，就有請(qǐng)宇宙第一耍帥公式歐拉公式隆重登場——
這個(gè)公式在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的意義要遠(yuǎn)大于傅里葉分析，但是乘它為宇宙第一耍帥公式是因?yàn)樗奶厥庑问健?dāng)x等于Pi的時(shí)候。
經(jīng)常有理工科的學(xué)生為了跟妹子表現(xiàn)自己的學(xué)術(shù)功底，用這個(gè)公式來給妹子解釋數(shù)學(xué)之美：”石榴姐你看，這個(gè)公式里既有自然底數(shù)e，自然數(shù)1和0，虛數(shù)i還有圓周率pi，它是這么簡潔，這么美麗??！“但是姑娘們心里往往只有一句話：”臭屌絲……“
這個(gè)公式關(guān)鍵的作用，是將正弦波統(tǒng)一成了簡單的指數(shù)形式。我們來看看圖像上的涵義：
歐拉公式所描繪的，是一個(gè)隨著時(shí)間變化，在復(fù)平面上做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，隨著時(shí)間的改變，在時(shí)間軸上就成了一條螺旋線。如果只看它的實(shí)數(shù)部分，也就是螺旋線在左側(cè)的投影，就是一個(gè)最基礎(chǔ)的余弦函數(shù)。而右側(cè)的投影則是一個(gè)正弦函數(shù)。
關(guān)于復(fù)數(shù)更深的理解，大家可以參考：
這里不需要講的太復(fù)雜，足夠讓大家理解后面的內(nèi)容就可以了。
有了歐拉公式的幫助，我們便知道：正弦波的疊加，也可以理解為螺旋線的疊加在實(shí)數(shù)空間的投影。而螺旋線的疊加如果用一個(gè)形象的栗子來理解是什么呢？
光波
高中時(shí)我們就學(xué)過，自然光是由不同顏色的光疊加而成的，而最著名的實(shí)驗(yàn)就是牛頓師傅的三棱鏡實(shí)驗(yàn)：
所以其實(shí)我們?cè)诤茉缇徒佑|到了光的頻譜，只是并沒有了解頻譜更重要的意義。
但不同的是，傅里葉變換出來的頻譜不僅僅是可見光這樣頻率范圍有限的疊加，而是頻率從0到無窮所有頻率的組合。
這里，我們可以用兩種方法來理解正弦波：
第一種前面已經(jīng)講過了，就是螺旋線在實(shí)軸的投影。
另一種需要借助歐拉公式的另一種形式去理解：
將以上兩式相加再除2，得到：
這個(gè)式子可以怎么理解呢？
我們剛才講過，e^(it)可以理解為一條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線，那么e^(-it)則可以理解為一條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋線。而cos(t)則是這兩條旋轉(zhuǎn)方向不同的螺旋線疊加的一半，因?yàn)檫@兩條螺旋線的虛數(shù)部分相互抵消掉了！
舉個(gè)例子的話，就是極化方向不同的兩束光波，磁場抵消，電場加倍。
這里，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱為正頻率，而順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的我們稱為負(fù)頻率（注意不是復(fù)頻率）。
好了，剛才我們已經(jīng)看到了大海——連續(xù)的傅里葉變換頻譜，現(xiàn)在想一想，連續(xù)的螺旋線會(huì)是什么樣子：
想象一下再往下翻：
是不是很漂亮？
你猜猜，這個(gè)圖形在時(shí)域是什么樣子？
哈哈，是不是覺得被狠狠扇了一個(gè)耳光。數(shù)學(xué)就是這么一個(gè)把簡單的問題搞得很復(fù)雜的東西。
順便說一句，那個(gè)像大海螺一樣的圖，為了方便觀看，我僅僅展示了其中正頻率的部分，負(fù)頻率的部分沒有顯示出來。
如果你認(rèn)真去看，海螺圖上的每一條螺旋線都是可以清楚的看到的，每一條螺旋線都有著不同的振幅（旋轉(zhuǎn)半徑），頻率（旋轉(zhuǎn)周期）以及相位。而將所有螺旋線連成平面，就是這幅海螺圖了。
好了，講到這里，相信大家對(duì)傅里葉變換以及傅里葉級(jí)數(shù)都有了一個(gè)形象的理解了，我們最后用一張圖來總結(jié)一下：
好了，傅里葉的故事終于講完了，下面來講講我的故事：
這篇文章第一次被寫下來的地方你們絕對(duì)猜不到在哪，是在一張高數(shù)考試的卷子上。當(dāng)時(shí)為了刷分，我重修了高數(shù)（上），但是后來時(shí)間緊壓根沒復(fù)習(xí)，所以我就抱著裸考的心態(tài)去了考場。但是到了考場我突然意識(shí)到，無論如何我都不會(huì)比上次考的更好了，所以干脆寫一些自己對(duì)于數(shù)學(xué)的想法吧。于是用了一個(gè)小時(shí)左右的時(shí)間在試卷上洋洋灑灑寫了本文的第一草稿。
你們猜我的了多少分？
6分
沒錯(cuò)，就是這個(gè)數(shù)字。而這6分的成績是因?yàn)樽詈笪覍?shí)在無聊，把選擇題全部填上了C，應(yīng)該是中了兩道，得到了這寶貴的6分。說真的，我很希望那張卷子還在，但是應(yīng)該不太可能了。
那么你們猜猜我第一次信號(hào)與系統(tǒng)考了多少分呢？
45分
沒錯(cuò)，剛剛夠參加補(bǔ)考的。但是我心一橫沒去考，決定重修。因?yàn)槟莻€(gè)學(xué)期在忙其他事情，學(xué)習(xí)真的就拋在腦后了。但是我知道這是一門很重要的課，無論如何我要吃透它。說真的，信號(hào)與系統(tǒng)這門課幾乎是大部分工科課程的基礎(chǔ)，尤其是通信專業(yè)。
在重修的過程中，我仔細(xì)分析了每一個(gè)公式，試圖給這個(gè)公式以一個(gè)直觀的理解。雖然我知道對(duì)于研究數(shù)學(xué)的人來說，這樣的學(xué)習(xí)方法完全沒有前途可言，因?yàn)殡S著概念愈加抽象，維度越來越高，這種圖像或者模型理解法將完全喪失作用。但是對(duì)于一個(gè)工科生來說，足夠了。
后來來了德國，這邊學(xué)校要求我重修信號(hào)與系統(tǒng)時(shí)，我徹底無語了。但是沒辦法，德國人有時(shí)對(duì)中國人就是有種藐視，覺得你的教育不靠譜。所以沒辦法，再來一遍吧。
這次，我考了滿分，而及格率只有一半。
老實(shí)說，數(shù)學(xué)工具對(duì)于工科生和對(duì)于理科生來說，意義是完全不同的。工科生只要理解了，會(huì)用，會(huì)查，就足夠了。但是很多高校卻將這些重要的數(shù)學(xué)課程教給數(shù)學(xué)系的老師去教。這樣就出現(xiàn)一個(gè)問題，數(shù)學(xué)老師講得天花亂墜，又是推理又是證明，但是學(xué)生心里就只有一句話：學(xué)這貨到底干嘛用的？
缺少了目標(biāo)的教育是徹底的失敗。
在開始學(xué)習(xí)一門數(shù)學(xué)工具的時(shí)候，學(xué)生完全不知道這個(gè)工具的作用，現(xiàn)實(shí)涵義。而教材上有只有晦澀難懂，定語就二十幾個(gè)字的概念以及看了就眼暈的公式。能學(xué)出興趣來就怪了！
好在我很幸運(yùn)，遇到了大連海事大學(xué)的吳楠老師。他的課全程來看是兩條線索，一條從上而下，一條從下而上。先講本門課程的意義，然后指出這門課程中會(huì)遇到哪樣的問題，讓學(xué)生知道自己學(xué)習(xí)的某種知識(shí)在現(xiàn)實(shí)中扮演的角色。然后再從基礎(chǔ)講起，梳理知識(shí)樹，直到延伸到另一條線索中提出的問題，完美的銜接在一起！
這樣的教學(xué)模式，我想才是大學(xué)里應(yīng)該出現(xiàn)的。
最后，寫給所有給我點(diǎn)贊并留言的同學(xué)。真的謝謝大家的支持，也很抱歉不能一一回復(fù)。因?yàn)橹鯇诘牧粞砸鸫渭虞d，為了看到最后一條要點(diǎn)很多次加載。當(dāng)然我都堅(jiān)持看完了，只是沒辦法一一回復(fù)。
本文只是介紹了一種對(duì)傅里葉分析新穎的理解方法，對(duì)于求學(xué)，還是要踏踏實(shí)實(shí)弄清楚公式和概念，學(xué)習(xí)，真的沒有捷徑。但至少通過本文，我希望可以讓這條漫長的路變得有意思一些。
最后，祝大家都能在學(xué)習(xí)中找到樂趣?！?/p>
謹(jǐn)以此文獻(xiàn)給大連海事大學(xué)的吳楠老師，柳曉鳴老師，王新年老師以及張晶泊老師。
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