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| 本文作者： 知社學(xué)術(shù)圈 | 2016-04-29 15:07 |
雷鋒網(wǎng)按：本文作者月寶，來自知社學(xué)術(shù)圈
1948年，香農(nóng)（Claude Shannon）在貝爾實驗室發(fā)表論文《通信的數(shù)學(xué)理論》。文章中提出的數(shù)學(xué)工具構(gòu)成了信息論的骨架。香農(nóng)證明了信源編碼的極限是信源的熵，信道編碼的極限則是信道容量。倚天劍一出，天下皆驚。而為達(dá)到香農(nóng)預(yù)測的信道編碼的極限——信道容量，人類卻花費了半個世紀(jì)掙扎。
2016年四月三十日是克勞德·香農(nóng)（Claude Shannon）的一百周年誕辰。雖然香農(nóng)被學(xué)術(shù)屆尊為信息時代之父，聽說過這位科學(xué)巨人名字的想必比知道宋仲基的人少得多。當(dāng)然，熱愛韓星的同學(xué)也都是很有文化的，他們也都會把愛因斯坦視為上個世紀(jì)最偉大最杰出的科學(xué)家，他們在茶余飯后也會聊聊愛老伯的相對論和最近時髦的引力波。只是他們可能不知道，香農(nóng)對人類的貢獻(xiàn)絕對可以和愛老伯媲美。不管你們信不信，俺在這里毫不夸張而且很淡定地告訴同學(xué)們，要是沒有香農(nóng)，到今天咱們應(yīng)該還沒有見過手機(jī)或Internet，也沒有用過微信或Facebook，更不能在網(wǎng)上看韓劇、看不雅視頻或秀美圖selfie。
在很多學(xué)者心中，其實香農(nóng)比愛老伯更偉大。南加州大學(xué)（University of Southern California) 電子工程系教授巴特·嗑死磕（Bart Kosko）說：愛因斯坦相對論之革命性在于它顛覆了之前的牛頓力學(xué)，而香農(nóng)信息論之革命性在于它前無古人—— 香農(nóng)對信息的認(rèn)知開人類之先河，沒有什么擋在前面需要被顛覆的；香農(nóng)提出了全新的數(shù)學(xué)工具，就是所謂的信息論，并用這個工具回答了人類從未思考過的問題。磕死磕說，在這個意義上，香農(nóng)的發(fā)現(xiàn)像牛頓的引力定律一樣基本。言下之意就是，香農(nóng)跟牛頓一樣牛，而牛頓比愛老伯牛，所以香農(nóng)比愛老伯牛。
那么香農(nóng)的信息論到底是個什么東東呢？ 簡單地說，信息論是個博大精深的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。香農(nóng)當(dāng)年創(chuàng)建信息論的時候是為了探討信息的本質(zhì)和通信的理論極限問題，比如什么是信息，怎樣從數(shù)學(xué)上定義衡量信息，數(shù)據(jù)壓縮和數(shù)據(jù)傳輸可達(dá)到的極限在哪里等等。但信息論的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于通信領(lǐng)域。在香農(nóng)之后，信息論被當(dāng)作一套通用的數(shù)學(xué)工具，在很多信息科學(xué)領(lǐng)域都有應(yīng)用。比如信息論可以用來做統(tǒng)計分析，可以用來開發(fā)人工智能，可以用來優(yōu)化投資策略等。聽到這個投資二字，很多炒股同學(xué)的眼睛可能都忽然一亮，隨即又被懷疑得不屑浸潤，慢慢黯淡了下來。對，俺沒忽悠你，去網(wǎng)上下一篇已故信息論大牛斯坦福大學(xué)教授托馬斯·科福（Thomas Cover) 1991年的文章“普適投資策略”（universal portfolios）看看吧，那也是信息論里的經(jīng)典。
在學(xué)術(shù)圈子里，人們往往對香農(nóng)高山仰止，覺得信息論深不可測，當(dāng)然那些絕世宗師和自信心爆棚的除外哈。俺在信息論的圈子里也算混了些時日，然而每每說起信息論三個字仍然是一邊怯怯地心虛著，一邊崇敬地仰望著。不過當(dāng)下是個不管老幾都可以向經(jīng)典致敬的年代，所以俺也要裝顆蔥，向香農(nóng)致敬一下子。于是俺決定提筆碼這篇字，試圖用最少的數(shù)學(xué)科普一下信息論里最基礎(chǔ)的概念，熵（entropy）。
“不要責(zé)罵我，都是熵的錯”
先從一個貌似不相干的西方曾經(jīng)流行的游戲，“二十個問題”（the twenty-question game) 說起。游戲是這樣的。俺心里想一樣?xùn)|西，你可以問俺二十個問題，然后猜俺心里想的東西。你的問題必須是“是不是”這種形式的。比如，這個東西是不是可以放進(jìn)冰箱里？這個東西是不是活的？這個東西是不是能吃？諸如此類。對于你問的每一個問題，俺必須如實地回答“是”或者“不是”。你在二十個問題之內(nèi)猜到了我想的東西就算贏。
這個二十個問題的游戲曾經(jīng)很受歡迎，還被做成過電子玩具。
這個游戲的關(guān)鍵是在于如何有效地問你的問題。如果你問“明天是不是下雨”，那你肯定腦子進(jìn)水了，可以不用往下看了。如果你第一個問題問的是“這東西是不是 iPhone 6”，這樣的問法顯然也效率不高，因為俺一旦說“NO”，你只從大量的可能性中排除了一種可能，還是要面對剩下巨大的猜測空間。
這個游戲可以大致等價于這樣一個數(shù)字游戲。假設(shè)M是個大于1的正整數(shù)，俺倆在玩游戲之前就商議確定好。俺在1到M之間任意想一個整數(shù)，你的任務(wù)是用最少的“是不是”形式的問題問出這個數(shù)是多少。
對于這個數(shù)字版的“二十個問題”游戲，聰明的寶寶都會發(fā)現(xiàn)類似這樣的結(jié)論：M的數(shù)值越大，需要的問題越多。但愛鉆研的同學(xué)可能會想到另一個問題：對于一個給定的問問題策略，所需問題的“多”或“少”又是用什么來衡量的呢？比方說，M=8，而你的問法是依次問如下問題：“這個數(shù)是不是1”，“這個數(shù)是不是2”，“這個數(shù)是不是3”，一直到“這個數(shù)是不是7”（如果問完“這個數(shù)是不是7” 你覺得還需要問“這個數(shù)是不是8”的話，那請你去看韓劇吧）。在這種情況下，如果俺想的數(shù)字是1，你只需要一個問題就可以知道答案；而如果俺想的數(shù)字是8，你必須在問完7個問題之后才能知道答案。換句話說，即使問問題的策略確定，因為俺心里那個神秘數(shù)字的不確定性，你所需要的問題數(shù)目也是不確定的。因此我們需要把這個數(shù)字版“二十個問題”游戲更準(zhǔn)確地描述出來，或者說，把在什么意義上“最少”定義出來。
讓俺先喘口氣，喝口水，扯點概率論，回頭再看這個問題。
隨機(jī)變量
咱們也別講究數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)了吧，直接講這個叫隨機(jī)變量的東東。
隨機(jī)變量描述的是一個隨機(jī)實驗可能出現(xiàn)的結(jié)果以及每種可能結(jié)果的可能性，也就是概率。先看一個例子。
例［老千擲硬幣］假設(shè)某老千每次投擲硬幣的結(jié)果有1/3可能性出正面，2/3的可能性出反面。那么擲一次硬幣就是一個隨機(jī)實驗，擲硬幣的結(jié)果就是一個隨機(jī)變量，我們這里記作大寫的 X。如果把正面記作1，反面記作0，那么這個隨機(jī)變量 X 可以通過一個函數(shù)P(x)來描述：函數(shù)的變量 （小寫的）x 的取值范圍是集合{0,1}，這個集合此后記作 S；函數(shù)在0和1的取值分別為：P(1)=1/3，P(0)=2/3。
從這個例子可以看出，一個隨機(jī)變量 X 無非是通過在某個集合S上定義的一個函數(shù)P(x)來描述的，而這個函數(shù)不能取負(fù)值，而且必須在對其變量 x 求和的時候結(jié)果為1（在老千擲硬幣的例子中即：P(0)+P(1)=1)。這個函數(shù)通常被稱為隨機(jī)變量X的概率分布。
當(dāng)然，同樣是擲硬幣，可以定義出很多不同的隨機(jī)變量（即不同的概率分布函數(shù)P(x)）來。普通人擲硬幣對應(yīng)的隨機(jī)變量基本就是P(0)=P(1)=1/2。賭神擲硬幣對應(yīng)的隨機(jī)變量可能是P(0)=1, P(1)=0。
生活中的隨機(jī)變量比比皆是。比如，在擲骰子的時候，骰子擲出的結(jié)果這個隨機(jī)變量對應(yīng)于一個定義在S={1,2,...,6} 上的概率分布函數(shù) P(x)，通常認(rèn)為P(1)=P(2)=...=P(6)=1/6。再比如明天會不會下雨（天氣預(yù)報不準(zhǔn)的啦），會有幾個人給俺這篇吐血之作點贊或轉(zhuǎn)發(fā)（不曉得多少人更喜歡韓劇的啦）這些不確定的事情里都可以定義出隨機(jī)變量來。記得不知道哪一位偉人曾經(jīng)說過，“隨機(jī)變量是到處都有的。對于我們的腦袋，不是缺少隨機(jī)變量，而是缺少發(fā)現(xiàn)?！?/p>
在前面說的那個數(shù)字版“二十個問題”游戲中，俺心里想的神秘數(shù)字對你來說也是一個隨機(jī)變量，它的概率分布P(x) 是定義在S={1,2,...,M} 上的函數(shù)。如果我選數(shù)字是“完全隨機(jī)的”，那么，這個函數(shù)就是P(1)=P(2)=...=P(M)=1/M。這種分布通常被稱為均勻分布。當(dāng)然，取決于俺按什么偏好選數(shù)字，這個函數(shù)也可以取其他形式：如果俺就是喜歡2，也許俺會以更高的概率取2。
隨機(jī)變量的均值
假設(shè)有個隨機(jī)變量 X，它的取值范圍 S={1, 2, …, M}，它的概率分布函數(shù)是某個定義在S上的函數(shù) P(x)。那么這個隨機(jī)變量的均值 （更文化點的說法叫數(shù)學(xué)期望值）就是這樣一個東東：
1*P(1)+2*P(2)+3*P(3)+ … +M*P(M).
在上面老千擲硬幣的例子中，隨機(jī)變量 X 的均值就是 1*(1/3)+0*(2/3)=1/3。簡單吧。
很多同學(xué)可能都有直覺的認(rèn)識，能感覺到如果把產(chǎn)生這個隨機(jī)變量 X 的隨機(jī)實驗做很多次，把得到的數(shù)字取平均，那么這個平均數(shù)差不多就是 X 的均值。這個概念，叫做大數(shù)定理，跟俺要講的熵有著本質(zhì)的聯(lián)系，俺這里不敢唐突，稍后會帶同學(xué)們仔細(xì)品味。
獨立隨機(jī)變量
很多時候俺們關(guān)心的不止一個隨機(jī)變量，而是很多隨機(jī)變量。比如，俺們同時關(guān)心兩個隨機(jī)變量 X 和 Y，X 的取值范圍是 {1, 2}, Y 的取值范圍是 {1, 2, 3}。那么俺們可以把這兩個隨機(jī)變量看作一個隨機(jī)變量對，寫作 （X, Y）, 而把它的取值范圍理解為所有可能的（X，Y）取值的組合，也就是 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}。把這個集合叫作S，那么這對隨機(jī)變量就是通過一個定義在S上的概率分布函數(shù) P(x, y) 來描述的。 當(dāng)這個隨機(jī)變量對的分布滿足 P(x, y)=P(x)P(y) 的時候，俺們就稱這兩個隨機(jī)變量是相互獨立的。
P(0, 0) = P(0)P(0) = (2/3)(2/3)=4/9
P(0, 1) = P(0)P(1) = (2/3)(1/3)=2/9
P(1, 0) = P(1)P(0) = (1/3)(2/3)=2/9
P(1, 1) = P(1)P(1) = (1/3)(1/3)=1/9
獨立隨機(jī)變量的概念當(dāng)然可以推廣到更多的隨機(jī)變量上。如果有 n 個隨機(jī)變量，它們的取值無非就對應(yīng)了一個長度為 n 的序列。所有這樣序列的集合就是這組隨機(jī)變量的取值范圍。如果這些隨機(jī)變量是相互獨立的，那么每個序列出現(xiàn)的概率無非就是把這個序列中每個數(shù)出現(xiàn)的概率乘在一起。比如，上面的老千連續(xù)擲了10次硬幣，那么出現(xiàn)1101011110的概率就是
(1/3)(1/3)(2/3)(1/3)(2/3)(1/3)(1/3)(1/3)(1/3)(2/3)=(1/3)^7 * (2/3)^3
均值和大數(shù)定理
大數(shù)定理的英文是 the laws of large number, 它的中文翻譯通常是“大數(shù)定律”而不是大數(shù)定理。但俺卻偏要叫它大數(shù)定理！
定律或是英文里的 law 都是指不需要證明但可以被驗證的理論假設(shè)。比如牛頓的萬有引力定律。從數(shù)學(xué)上說，不需要證明就被接受的假設(shè)被認(rèn)為是公理。但是這個大數(shù)定理并非公理，它是被嚴(yán)格證明出來的（證明也不復(fù)雜，只要用馬爾可夫不等式或切比曬夫不等式就行了），因此準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言應(yīng)該叫它“定理”。管他叫“定律”會讓人以為這個東東就是假設(shè)出來的公理，從而產(chǎn)生歧義，當(dāng)年也不知道誰這么沒涵養(yǎng)管它叫“l(fā)aw”。所以，不管你們服不服，俺都要管它叫大數(shù)定理。
大數(shù)定理大概說了這樣一個意思。假設(shè)有某個隨機(jī)實驗會產(chǎn)生一個隨機(jī)變量 X。如果你重復(fù)做這個隨機(jī)實驗 n 次， 你就會得到一個隨機(jī)變量序列 X1, X2, X3, …, Xn。這里假定這些隨機(jī)變量相互獨立（即這些隨機(jī)實驗互不影響）而且 n 是個很大的數(shù)（比如，一萬，十萬，百萬），那么把這 n 個數(shù)加起來除以 n （即取平均），得到的數(shù) （ 即 (X1+X2+…+Xn)/n ）幾乎總是很接近隨機(jī)變量 X 的均值。同學(xué)們注意一下俺這里“幾乎總是”和“很接近”的用詞哈。雖然俺是個馬虎的人，這里的遣詞造句是極其考究，極負(fù)責(zé)任，極具情懷的。
咱們用老千擲硬幣的例子先看看大數(shù)定理到底說了些啥子嘛。假設(shè)那個老千擲了 n 次硬幣，那么他就得到了 n 個在{0, 1} 里取值的數(shù)。因為這 n 個數(shù)都是隨機(jī)的，這 n 個數(shù)的均值當(dāng)然也是個隨機(jī)變量，就是說也有一個概率分布函數(shù)，有一定的不確定性。大數(shù)定理告訴俺們，當(dāng) n 很大的時候，這 n 個數(shù)的平均值“幾乎總是很接近”1/3?！皫缀蹩偸恰焙汀昂芙咏笔强梢栽跀?shù)學(xué)上嚴(yán)格定義的，不過當(dāng)俺講完它們的定義的時候，估保守，但俺碼字已經(jīng)快要吐血，正在后悔俺為什么要攬下這么個差事，所以就隨便套了一下切比曬夫不等式得出下面這些“至少有”的結(jié)論）：
當(dāng) n=1000 時，至少有 91.1% 的概率這個平均值很接近1/3。
當(dāng) n=10000 時，至少有 99.1% 的概率這個平均值很接近1/3。
當(dāng) n=100000 時，至少有 99.9% 的概率這個平均值很接近1/3。
如果把“很接近1/3”理解為跟 1/3 相差不到 0.02，那么：
當(dāng) n=1000 時，至少有 44.4% 的概率這個平均值很接近1/3。
當(dāng) n=10000 時，至少有 94.4% 的概率這個平均值很接近1/3。
當(dāng) n=100000 時，至少有 99.4% 的概率這個平均值很接近1/3。
當(dāng) n=1000000 時，至少有 99.9% 的概率這個平均值很接近1/3。
現(xiàn)在展開你想象的翅膀，你應(yīng)該看到當(dāng) n 變成無窮大的時候，這個平均值就不再是“幾乎總是很接近1/3”，而是“就是1/3”了！
至此同學(xué)們可能已經(jīng)體會出俺極其考究、極負(fù)責(zé)任的“幾乎總是很接近”了吧。這里的情懷還是讓俺帶你們領(lǐng)略一下吧。老千擲出的序列當(dāng)然是隨機(jī)的、不確定的、沒有規(guī)律的。這個序列的平均數(shù)雖然也在1/3周圍隨機(jī)跳動，但卻隨著 n 的增大越發(fā)確定起來。當(dāng)n很小、她就在你跟前的時候，變化多端、捉摸不定的她讓你無法看清；當(dāng) n 增大的時候，她漸行漸遠(yuǎn)，但她在風(fēng)中顫動的身影卻在你記憶的相機(jī)里慢慢聚焦，越來越清晰；直到她消逝在無限的遠(yuǎn)方，她竟定格成一幅永恒而又無比真切的畫面。
學(xué)霸們可能會覺得俺太矯情了：不就一個簡單的大數(shù)定理嗎，有必要這么忽悠嗎？其實俺也覺得自己有些矯情。但看完本文之后，俺請你再回頭體會一下大數(shù)定理的情懷。
“二十個問題”游戲的準(zhǔn)確規(guī)則及特例
用概率論武裝一下之后，同學(xué)們應(yīng)該已經(jīng)認(rèn)識到，在“二十個問題”游戲中俺心里想的神秘數(shù)字其實就是一個隨機(jī)變量 X。我們可以假設(shè)它的取值范圍S={1, 2,…, M} 和概率分布函數(shù) P(x)都已知。當(dāng)然在實際情況下我們未必真知道 P(x)，但往往可以大致估計這個函數(shù)。如果對這個分布函數(shù)我們一無所知，我們不妨認(rèn)為 P(x) 是個均勻分布。
對于任意一個給定的問問題策略，如果俺心里的神秘數(shù)字是 x，我們把所需的問題個數(shù)記作 L(x)。比如 M=8，而我們用前面提到的那個從1問到7的策略問問題，我們就會得到：
L(1)=1, L(2)=2, L(3)=3, L(4)=4，
L(5)=5, L(6)=6, L(7)=7, L(8)=7。
（對，L(8)=7，俺沒敲錯。）
因為俺心里想的是個隨機(jī)變量 X，在這個策略下所需要的問題數(shù)目 L(X) 就也是個隨機(jī)變量。這個隨機(jī)變量 L(X) 也有一個分布，在知道 P(x) 的前提下，如果想算也是可以算出來的。但是俺懶得算它。
既然 L(X) 是個隨機(jī)變量，一個最自然的方式定義這個策略所需要的問題個數(shù)就是用這個隨機(jī)變量的均值，或者說用平均所需要的問題個數(shù)。如果你的數(shù)字直覺好，應(yīng)該可以看到，即使不求 L(X) 的分布，這個隨機(jī)變量的均值其實就是
L(1)*P(1)+L(2)*P(2)+…+L(M)*P(M).
用 L(X) 的均值定義一個問問題策略所需要的問題個數(shù)除了“自然”，還有什么物理意義嗎？當(dāng)然！前面的大數(shù)定理告訴咱們，如果你用這個策略玩這個游戲很多次，你所用問題個數(shù)的平均值“幾乎總是很接近”L(X) 的均值。而當(dāng)你玩了這個游戲無數(shù)次之后，你平均每次用的問題數(shù)就正好是這個 L(X) 的均值。
由此可見，如果俺們準(zhǔn)備玩這個游戲很多次，那么用 L(X) 的均值定義所需要問題的個數(shù)，用金星老師的話說就是一個動作兩個字：完美。
至此，俺們已經(jīng)確定這個“二十個問題”游戲的準(zhǔn)確規(guī)則，即：你要設(shè)計一種問問題的策略，當(dāng)用這個策略跟俺玩很多次（更準(zhǔn)確的說，無數(shù)次）這個游戲之后，平均每次用的問題個數(shù)要越少越好！換句話說，我們希望尋找一個最好的問問題策略，同時確定最少需要多少個問題（平均意義上）。
其實在一些特殊的情況下，確定最優(yōu)的問問題策略和最少需要的問題個數(shù)并不困難。
考慮這樣一個特例：俺心里的神秘數(shù)字 X 的取值范圍是 S={1, 2, …, 8}，而且 X 的概率分布函數(shù)是個均勻分布。那么最優(yōu)的問問題方法就是所謂的“二分法”：每問一個問題要把這個神秘數(shù)字的可能范圍縮減一半。比如這樣的問法：
問題1: 把集合 {1, 2, …, 8} 分成左右兩份，左邊的是 {1, 2, 3, 4}, 右邊的是 {5, 6, 7, 8}。然后問：你想的數(shù)是不是在左邊??？
問題2: 根據(jù)俺的答案，你可以確定這個神秘數(shù)字只剩下四種選擇。你再類似地把四種選擇分成左右兩份，然后問：你想的數(shù)是不是在左邊?。?/p>
問題3: 根據(jù)俺的答案，你現(xiàn)在可以確定這個神秘數(shù)字只有兩種選擇，再把它們一個放左邊，一個放右邊。你再問：你想的數(shù)是不是在左邊??？
如此問完三個問題，你一定知道了俺的神秘數(shù)字。相信你的直覺也應(yīng)該告訴你，這就是最優(yōu)問法！那么在這個例子里，所需的最少問題個數(shù)就是 3。從咱們用每個問題把猜測空間一切兩半的問法，同學(xué)們應(yīng)該也已經(jīng)認(rèn)識到，這里得出的最少問題數(shù) 3 正是因為 8=2^3, 或者說，2= log 8. （本文中所有的對數(shù)操作均以2為底數(shù)）。
在這個例子中有個現(xiàn)象也值得注意一下：不管俺心里想的是個什么數(shù)字，使用二分法所需的問題數(shù)字都是3，一個完全確定，毫無隨機(jī)性的數(shù)字。
這個特例顯然可以推廣：如果神秘數(shù)字 X 的概率分布函數(shù)是在 2^K 種可能性上的均勻分布，那么“二十個問題”游戲的最優(yōu)策略可以通過二分法實現(xiàn)；在這種策略下，不論神秘數(shù)字是什么，問出它所需要的問題數(shù)都是 K，因此所需要的平均問題數(shù)也是 K。同學(xué)們請用紅筆圈下這個結(jié)論，咱么晚點要用到這個結(jié)論。
當(dāng)然，這個二分法只適合于這樣的特例，當(dāng)神秘數(shù)字的可能性總數(shù)不是2的多少次方的時候，或者當(dāng)神秘數(shù)字的分布不均勻的時候，這種問法顯然不是最優(yōu)的。這個問題任意形式的最優(yōu)解法曾讓一個叫大衛(wèi).霍夫曼（David Huffman）的年輕學(xué)生在1951年一夜成名。不過，那已經(jīng)是在香農(nóng)提出信息論三年之后了。
在香農(nóng)獨特的視角里，這個問題并不至關(guān)重要。在俺的想象中，當(dāng)香農(nóng)看到滿屋子小朋友們嘰嘰喳喳地玩這個游戲的時候，他笑了笑，說：你們慢慢玩吧。然后他點起一支煙，凝視著窗外的遠(yuǎn)方。在落霞與孤鶩齊飛的秋色里，他看到了這個游戲的另一種設(shè)計。
“二十個問題”游戲攢著玩和數(shù)據(jù)壓縮
既然用 L(X) 的均值定義所需要問題的個數(shù)依賴于把這“二十個問題”游戲玩很多次，那么考慮一下這個游戲的一個變種，就是把這很多次游戲攢起來一起玩：俺拿出一張很長很長的紙條，然后隨機(jī)想 n 個相互獨立的神秘數(shù)字，X1, X2, …, Xn （每個數(shù)字的分布都是同一個定義在 S={1, 2, …, M} 上的概率分布函數(shù)，P(x)）。俺把這些數(shù)字一個一個地寫到紙條上。這里 n 很大很大，所以紙條很長很長。然后你再來問俺“是不是”一臺或一百臺電腦來。你問俺的問題要是計算太復(fù)雜，俺也可以去搬電腦來算?？傊蹅儾挥霉苡嬎阌卸鄰?fù)雜，俺倆都有無限的計算能力。在這個攢著玩的“二十個問題”游戲中，怎樣的問問題策略才最優(yōu)呢？最優(yōu)的策略所需要的平均問題數(shù)目又是多少呢？
暫且先不討論這個問題的答案，咱們先審視一下這個新的游戲設(shè)計的應(yīng)用意義吧。
想象一下， 俺寫在紙條上的序列其實是俺剛寫好的長篇小說（俺寫下的每一個數(shù)其實對應(yīng)于新華字典里的一個字），又或者俺寫在紙條上的序列其實對應(yīng)于俺長期夜觀星象的結(jié)果，記錄了不為人知的宇宙奧秘（俺寫的每個數(shù)字都是對觀測到的宇宙狀態(tài)的描述）。在你問俺問題的時候，俺的回答將是一個長長的由Yes/No 組成的序列。如果把 Yes 記作 1，No 記作 0，俺的回答其實就是一個0/1組成的序列。
一個可以取 0/1 兩個值的變量，或者一個可以儲存 0/1 兩種不同狀態(tài)的存儲單元，就是人們常說的比特（bit）。所以俺的回答其實就是一個比特序列。你希望用最少的問題就等同于要求這個比特序列最短，或者說要求用最少的比特數(shù)表示俺紙條上的內(nèi)容。這個問題其實就是通信中的數(shù)據(jù)壓縮問題！
數(shù)據(jù)壓縮，又叫“信源編碼”，大約是干這樣一件事。假設(shè)有個信息源，就是一個能不停往外蹦信息的東西，比如一直在想神秘數(shù)字的俺，夜觀星象的俺，寫小說的俺，等等等等。信息源產(chǎn)生的信息從數(shù)學(xué)上說就是一個隨機(jī)變量序列（更有文化的說法叫隨機(jī)過程）。這個隨機(jī)變量序列可以有很多種形式，最簡單形式就是其中的隨機(jī)變量都相互獨立而且服從相同的分布。對這個信息源進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮包括了兩個環(huán)節(jié)，編碼和解碼。編碼就是把從信息源蹦出來的隨機(jī)序列表示成比特序列，而且越短越好；解碼就是從比特序列中還原出信息源蹦出來的隨機(jī)序列。數(shù)據(jù)壓縮可以大幅度降低數(shù)據(jù)存儲和通訊需要的資源，已經(jīng)是現(xiàn)代通信技術(shù)的一個重要組成部分。
現(xiàn)在回到“二十個問題”游戲。如果這個游戲一個一個分開玩，其實就是在數(shù)據(jù)壓縮的時候，對信息源里蹦出的每個隨機(jī)變量單獨做壓縮。如果這個游戲攢 n 個一起玩，其實就是對隨機(jī)序列中的 n 個隨機(jī)變量同時進(jìn)行壓縮。顯然，對每個隨機(jī)變量單獨進(jìn)行壓縮一定不會比對整個隨機(jī)序列同時做壓縮效率更高 （這里的效率是用平均每個隨機(jī)變量壓縮后的比特數(shù)來衡量的，比特數(shù)越低，效率越高）。這里的道理是這樣的：比如俺倆攢 n 個“二十個問題”游戲一起玩，但你設(shè)計問題的時候，每個問題只是針對序列中的一個隨機(jī)變量，而不是針對整個序列。這樣的問問題策略顯然等同于把每個游戲分開玩。也就是說， 這個游戲一個一個分別玩可以認(rèn)為是攢起來一起玩的一種特例。因而分別玩能達(dá)到的效率，攢起來玩也可以達(dá)到。因為同樣的道理，如果這個游戲攢 2n 個一起玩，其效率也一定不比攢 n 個一起玩低。也就是說，為了提高效率，n 應(yīng)該越大越好。
那么攢起來玩的效率到底最高可以達(dá)到多少呢？或者說，對一個給定的信息源，平均每個蹦出來的隨機(jī)變量最少需要多少個比特來表示呢？這個數(shù)字通常跟序列的長度 n 相關(guān)，而且對于任意一個給定的 n，即使俺們能夠確定最優(yōu)的壓縮方法，精確地確定這個數(shù)字也是一件很棘手的事。不過既然俺們已經(jīng)認(rèn)識到 n 越大越好，那不妨考慮 n 取無窮大吧。
當(dāng) n 取無窮大時，如果俺們能夠計算出信息源里平均每個蹦出的隨機(jī)變量最少需要多少比特來表示，這個數(shù)字不僅標(biāo)記了最優(yōu)的壓縮效率，它同時還有著更深刻的物理意義：它跟序列的長度 n 無關(guān)，也跟編碼方法無關(guān)；換言之，這個比特數(shù)只取決于信息源本身（即隨機(jī)變量X或其分布 P(x)）。因為這個比特數(shù)是由最優(yōu)編碼／解碼方法實現(xiàn)的，它同時說明了兩件事：
1. 只要解碼端接收到的平均比特數(shù)不到這個數(shù)字（平均到每個隨機(jī)變量上），不論用什么編碼／解碼方法都一定無法重建信息源里蹦出的隨機(jī)序列。
2. 只要解碼端接收到的平均比特數(shù)超過這個數(shù)字，就一定有一種編碼／解碼方法可以使解碼端重建這個序列。
這就是說，在平均意義上，你一定需要這么多比特來表達(dá)信息源里蹦出的每一個隨機(jī)變量，而且只要這么多比特就夠了！因此，這個比特數(shù)實際上就標(biāo)注了這個信息源在以什么樣的“速率”釋放“信息”，或者說標(biāo)注了這個信息源里蹦出的每個隨機(jī)變量平均包涵了多少“信息”！
下面俺們就來看看是否可以導(dǎo)出這個最小比特數(shù)。
嗯，沒錯，終于要掀開她的紅蓋頭了。等不及了吧［呲牙笑］。
最小比特數(shù)
還是二十個問題攢著玩吧。不過這次俺也不去想什么隨機(jī)數(shù)了。俺就把之前例子里的那個老千找來，讓他躲在俺身后不停地擲硬幣。俺就把他擲出的0/1結(jié)果寫在紙條上。等俺寫完 n 個數(shù)的時候，就讓你開始問問題。前面說過，這無非就是把這個老千擲硬幣的結(jié)果當(dāng)作一個信息源，對這個信息源做壓縮。
因為 n 很大很大，讓我們先回顧一下大數(shù)定理的情懷：
老千擲出的硬幣序列的平均值幾乎總是很接近1/3。
根據(jù)俺之前對這句話不辭勞苦的解釋，這句話也可以換一種說法，而且這種說法很重要：
老千擲出的序列幾乎可以肯定有差不多 n/3 個1 和 2n/3 個0！
同學(xué)們再好好體會一下俺極其考究、極負(fù)責(zé)任、極具情懷的用詞：“幾乎可以肯定”和“差不多”。
這個重要結(jié)論很容易推廣到擲硬幣之外的任意隨機(jī)變量：假設(shè)隨機(jī)變量 X 是通過一個在集合 S={1, 2, …, M} 上定義的概率分布函數(shù) P(x) 描述的。那么當(dāng)俺們產(chǎn)生 n 個相互獨立的這樣的隨機(jī)變量的時候，如果 n 是個很大的數(shù)字而 a 是 S 中的任意一個數(shù)，那么：
產(chǎn)生的隨機(jī)序列幾乎可以肯定有差不多 n*P(a) 個 a ！
也就是說，雖然得到的序列本身是隨機(jī)的，不確定的，但是當(dāng) n 很大的時候，這個序列的組成“幾乎”是“差不多確定的”！ 而且可以想象，當(dāng) n 無窮大的時候，這里的“幾乎”和“差不多”都可以刪去！
在老千擲硬幣這個例子里，如果一個硬幣的序列有差不多 n/3 個1 和 2n/3 個0，那么俺就管這種序列叫“典型序列”。在更普遍的意義上，相對于一個在S 上定義的分布 P(x)，一個由 S 里的數(shù)字組成的長度為 n 的序列俺也管它叫典型序列，如果 S 里的每個數(shù) a 在這個序列中出現(xiàn)了差不多 n*P(a) 次。在典型序列定義中的“差不多”是差多少？呵呵，跟前面的邏輯一樣，如果 n 很大，差不多就是差一丁點，如果 n無窮大，差不多可以是“一點不差”！ 老千擲出的序列幾乎可以肯定是典型的！
當(dāng) n 無窮大的時候，這句話里的“幾乎”當(dāng)然也是可以刪掉的。也就是說，在 n 無窮大的時候，不典型的序列根本不會出現(xiàn)！那么，你問問題的時候豈不是只需要針對典型序列問問題就行了？
正是如此！
那咱們看看典型序列一共有多少個。把這個要算的數(shù)記作 T。
首先注意一下每個典型序列有多大的概率被老千擲出來。因為每個典型序列“差不多”由 n/3 個1 和 2n/3 個0 組成，而這個序列中的所有隨機(jī)變量又是相互獨立的，那么，每個典型序列被擲出來的概率“差不多”就是 (1/3)^(n/3)*(2/3)^(2n/3)。不知道同學(xué)們注意到?jīng)]有，每個典型序列被擲出來的概率“差不多”都是這個數(shù)。同時注意到只有典型序列才可能被擲出來，也就是說，所有典型序列出現(xiàn)的概率之和“差不多”就是 1。這樣俺們就可以得出，典型序列的數(shù)目 T “差不多”就是 1 除以每個典型序列出現(xiàn)的概率，也就是
1/((1/3)^(n/3)*(2/3)^(2n/3)) = (1/3)^(-n/3)*(2/3)(-2n/3).
針對這 T 個序列問問題，就“差不多”等同于俺跟你玩一次這樣的“二十個問題”游戲：俺從{1, 2, …, T} 里取一個數(shù)，而且這個數(shù)服從均勻分布；然后你問俺“是不是”問題來猜這個數(shù)。那么你最少需要多少問題呢？ 現(xiàn)在回頭找到之前讓你們用紅筆圈出的結(jié)論：最優(yōu)解是二分法；你最少需要的問題總數(shù)是 log T！而且不管俺取的是哪個數(shù)，你都需要這么多問題！
認(rèn)真的同學(xué)可能會叫板說，哎，這個 T 也未必是 2 的整數(shù)次方啊，二分法能用嗎？！嗯，這個問題不錯。但可以這樣想，只要把 n 弄得足夠大，總可以讓 T 非常接近 2 的某個整數(shù)次方。而且，即使 T 真的不是 2 的整數(shù)次方，還可以換一個角度得到我們后面要得到的結(jié)論，比如，一定存在一個整數(shù)K 使得 T 是在 2^K 和 2^(K+1) 之間。。。?？傊?，當(dāng) n 無窮大的時候，凌亂的世界都變整齊了，這個問題不再是問題了。
這個最少問題數(shù) log T 是用來問這個長度為 n 的硬幣序列的。平均到每次擲硬幣，平均需要的最少問題數(shù)就是 （log T）／n。稍微整理一下這個表達(dá)式就應(yīng)該可以看到，這個數(shù)字正好等于
- (1/3) log(1/3)- (2/3) log (2/3)。
這也就是壓縮這個“老千擲硬幣”信息源所需要的最少比特數(shù)。
把這種推演用到任意信息源。如果一個信息源往外蹦的隨機(jī)變量都獨立而且服從同一個定義在S={1, 2, …, M} 上的分布P(x)，那么以下結(jié)論依次成立。
信息源里蹦出的隨機(jī)序列幾乎可以肯定是典型的！
每個典型序列出現(xiàn)的概率差不多就是 P(1)^(nP(1))*P(2)^(nP(2))*…*P(M)^(nP(M))!
典型序列的個數(shù) T 差不多就是P(1)^(-nP(1))*P(2)^(-nP(2))*…*P(M)^(-nP(M))!
壓縮這個信息源蹦出的每個隨機(jī)變量平均所需要的最少比特數(shù)就是 (logT)/n！
這個數(shù)字 (logT)/n 就等于：
-P(1)log P(1) - P(2) log P(2) - … - P(M)log P(M).
這個數(shù)字，就是熵。
從熵的表達(dá)式看，熵是通過一個概率分布函數(shù) P(x) 來定義的。因為概率分布函數(shù) P(x) 都對應(yīng)于它所描寫的隨機(jī)變量 X，所以俺們也可以認(rèn)為熵是對隨機(jī)變量 X 的某種特性的度量，而把它記作 H(X)。從壓縮的角度講，熵值 H(X) 是對產(chǎn)生隨機(jī)變量 X 的信息源編碼所需要的平均最小比特數(shù)，或隨機(jī)變量 X 中固有的平均信息量。
如果隨機(jī)變量 X 是在 S={1, 2, …, M} 里取值，那么可以證明，熵值 H(X) 的取值必定在 0 和 logM 之間。當(dāng)隨機(jī)變量 X 在 S 上均勻分布的時候，H(X) 取最大值 logM；當(dāng) X 以百分之百的概率取 S 中的某個數(shù)值的時候，H(X) 取最小值 0。前者對應(yīng)于“不確定性”最大的 X，而后者對應(yīng)于“不確定性”最小的（即完全可以確定的）X。所以，也可以把熵值 H(X) 理解為對 隨機(jī)變量 X 的“不確定性“（或“不可預(yù)測性”）的度量。
因此，隨機(jī)變量所包含的“信息量”和它的“不確定性”其實是同一個概念。一個隨機(jī)變量越難以確定，它所包含的信息量越多。這種認(rèn)識對初次接觸熵的人來說或許不夠自然。但仔細(xì)體會一下，確實是有道理的。如果俺想告訴你的事你很容易猜到，或者說你不用問幾個問題就能知道，那俺要說的話對你來說就沒多少信息量。
在熵的定義里 －logP(a) 又是什么物理意義呢？當(dāng)然這個數(shù)字可以理解為 a 編碼所需要的比特數(shù)（在前面例子里，我們能看到以1/8概率出現(xiàn)的事件，需要用3個比特來編碼）。換一個角度理解，－logP(a) 可以理解為 a 的“驚奇度”。一個出現(xiàn)概率極低的事件 a，比如世界末日，它一旦出現(xiàn)就會令人非常驚奇，所以對應(yīng)的 －logP(a) 就會很大；而如果 a 出現(xiàn)的概率很大，它的出現(xiàn)就不會太令人吃驚，所以對應(yīng)的 －logP(a) 就會很小。因此，熵值 H(X) 也可以理解為隨機(jī)變量 X 的“平均驚奇度”。
用不確定性，信息量，或平均驚奇度來理解熵，都只是給它賦予一個直覺的解釋。平均最小編碼長度才是對熵的數(shù)學(xué)理解。但這種理解并不能體現(xiàn)出大數(shù)定理在熵的定義里所起的決定性作用以及“二十個問題”游戲必須攢著玩才能實現(xiàn)最短問題數(shù)等于熵值的深刻認(rèn)識。在大數(shù)定理的情懷下，熵值 H(X)還有另一個數(shù)學(xué)解釋： H(X) 是典型序列的總數(shù)隨序列長度的“翻倍速率”?？矗L度為 n 的典型序列總數(shù) T 差不多是 2^(nH(X))；也就是說，每當(dāng)序列長度 n 增加 1， T 就增大 2^(H(X)) 倍，或者說，翻倍翻了 H(X) 次。所以把熵理解為典型序列總數(shù)的翻倍速率才能真正體現(xiàn)熵的數(shù)學(xué)本質(zhì)。當(dāng)然，這樣的理解就離韓劇更加遙遠(yuǎn)了。
熵，或英文里的entropy，本來源于物理中的熱力學(xué)，用來描寫系統(tǒng)的“混亂度”。香農(nóng)在定義信息熵的時候借用了這個詞。雖然俺經(jīng)常夜觀星象，也能在夜空沒有霧霾的時候認(rèn)出北斗星，但對宇宙、相對論，或是熱力學(xué)，都一竅不通。所以俺就不試圖解釋物理熵和信息熵的聯(lián)系了。
但在通信的范疇，熵是人類第一次對信息有了數(shù)學(xué)的認(rèn)識。人類剛剛開始研究數(shù)字通信的時候基本就是瞎子摸象，直到1948年香農(nóng)在貝爾實驗室發(fā)表了那篇著名的文章，“通信的數(shù)學(xué)理論”。倚天劍一出，天下皆驚。香農(nóng)一針見血地指出，通信的問題可以分解成兩個的問題，即信原編碼和信道編碼。信原編碼的目的是盡可能高效的表示信息源，即數(shù)據(jù)壓縮；信道編碼的目的則是盡可能高效的讓數(shù)據(jù)可靠無誤地通過信道。在他1948年的文章里，香農(nóng)證明了信原編碼的極限是信源的熵，而信道編碼的極限則是個叫信道容量的東東，標(biāo)注著信道可以支持的最大通信速率。（信道容量的概念是在熵的基礎(chǔ)上的對信息論的進(jìn)一步發(fā)展，故事更長，更精彩，不過俺還是不講了吧。）香農(nóng)說，只有當(dāng)信源的熵低于信道的容量的時候，可靠的通信才可能實現(xiàn)；而且只要在這個條件下，可靠的通信就一定可以實現(xiàn)！香農(nóng)的證明是存在性證明，就是說，他告訴俺們： 反正這事兒一定可以實現(xiàn)，至于怎么實現(xiàn)，你們自己想辦法吧。
信息編碼的問題很快被香農(nóng)的追隨者和逐步解決?；谒阈g(shù)編碼(arithmetic coding)和 LZ 編碼（Lampel-Ziv coding) 的信源編碼方法在上世紀(jì)七八十年代已經(jīng)日漸成熟，實現(xiàn)了香農(nóng)預(yù)測的壓縮極限并在實踐中被廣泛采納。而香農(nóng)預(yù)測的信道編碼的極限，信道容量，卻花費了人類半個世紀(jì)掙扎。業(yè)外人士未必了解，對信道編碼的研究結(jié)晶了人類最高的智慧和前赴后繼的努力。然而香農(nóng)預(yù)測的信道容量直到上世紀(jì)九十年代中葉才終于被實現(xiàn)。今天我們的手機(jī)里也終于承載了香農(nóng)在1948年的預(yù)言！
熵的提出是信息論起點，也是人類對信息認(rèn)知的開始，而香農(nóng)在他1948年文章里提出的數(shù)學(xué)工具正是信息論的骨架。在我們今天生活的信息時代，香農(nóng)和信息論存在于我們的手機(jī)，我們的電腦，我們的電視，我們的藍(lán)光播放器，我們的internet，我們的facebook，我們的韓劇。
圣經(jīng)創(chuàng)世紀(jì)說，在世界還是一片混沌漆黑的時候，上帝說，要有光。于是世界就有了光。
大約七十年前，當(dāng)人們還在黑暗中摸索數(shù)字通信的時候，香農(nóng)說，要有熵。于是，就開啟了信息時代。
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